1-й семинар Матпрофиля 2026 22.09.2026

1-й семинар Матпрофиля 2026

Продолжает свою работу математический профиль нашего Лицея. Глобальные задачи математического профиля — дать школьникам представление о математике как науке, предоставить возможность пообщаться с ведущими российскими математиками и получить опыт самостоятельной научной деятельности.

В этом году в работе математического профиля появился новый формат – семинары. Эти занятия организованы по аналогии со взрослыми научными семинарами и представляют собой доклады математиков по конкретной теореме или результату и связанным с ними вопросам. Помимо рассказа об этих результатах предлагается некоторое количество задач для самостоятельного решения, в числе которых могут быть и открытые вопросы, ответы на которые пока что неизвестны. Часто именно из попыток ответов на такие вопросы у школьников появляются их первые публикации.

Первое заседание семинара математического профиля прошло в среду 16.09. На нем выступал руководитель математического профиля Лицея Павел Витальевич Бибиков. Название и анонс доклада приведены ниже.

Вокруг комбинаторной теоремы о нулях

Интерполяционная формула Лагранжа позволяет явно записать многочлен степени не выше $n$, зная его значения в $n+1$ точке. Возникает естественное желание перенести этот метод на многочлены от нескольких переменных. Однако даже дословный перенос самого вопроса интерполяции вызывает существенные трудности. Например, многочлены $f_1(x,y)=x^2+y^2$ и $f_2(x,y)\equiv 1$ совпадают в бесконечном количестве точек $(x,y)=(\cos t,\sin t)$, но сами многочлены при этом разные. Это означает, что задачу интерполяции необходимо уточнить. Сделать это можно двумя способами: либо пытаться восстанавливать не весь многочлен, а какие-то его фрагменты, либо восстанавливать многочлен не по произвольным точкам, а по каким-то специальным.

Оба этих уточнения приводят к интересным результатам. В рамках занятия семинара мы сосредоточимся на первом варианте: научимся находить не весь многочлен от нескольких переменных, а лишь некоторые его коэффициенты. Соответствующее утверждение называется \emph{комбинаторной теоремой о нулях}, и, в отличие от интерполяционной формулы Лагранжа, она была открыта сравнительно недавно (в 1999 г.) израильским математиком Ногой Алоном. Более того, та формулировка, которая будет нам полезна, была предложена Романом Карасевым и Федором Петровым лишь спустя более чем 10 лет, в 2012 г.

Мы обсудим, почему комбинаторная теорема о нулях получила такое название, а также поговорим о различных применениях этой теоремы в алгебре, теории чисел и комбинаторике. Также будут предложены открытые задачи и вопросы, над которыми участники семинара могут подумать самостоятельно.